Сколько изображений получается от светящейся точки, находящейся между двумя плоскими зеркалами, расположенными под углом 45⁰ друг к другу?

Решение.
Если между зеркалами 1 и 2 поместить светящуюся точку A₀ , выходящие из нее лучи будут попадать на зеркала, многократно отражаться от них расходящимися пучками, давая всякий раз на своем продолжении мнимые изображения.
Для решения можно ограничиться схематическим построением, учитывая то, что мнимое изображение, даваемое одним зеркалом, можно считать предметом для второго.

Рассмотрим пучок лучей, падающих из точки A₀ на зеркало 1. После отражения он идет к зеркалу 2 так, как если бы выходил из точки A₁ , являющейся изображением предмета A₀ в первом зеркале. Кроме отраженного пучка, на второе зеркало падает пучок лучей, выходящих непосредственно из A₀ .

Оба эти пучка отражаются так, что на их продолжении получатся точки A₂ и A₃ , которые являются изображением точек A₀ и A₁ в зеркале 2.
Лучи, отраженные от второго зеркала, вновь попадают на первое, отражаются от него, давая изображения A₄ и A₅ , для которых предметами являлись точки A₂ и A₃ . Для наглядности и удобства построений плоскости зеркал на чертеже продолжены за линию их пересечения.

Точки A₄ и A₅ можно рассматривать как предмет для второго зеркала. Их изображениями в этом зеркале служат симметричные точки A₆ и A₇ , находящиеся по другую сторону зеркала 2.
Нетрудно заметить, что при расположении зеркал под углом 45⁰ друг к другу полученные изображения будут последними. Отраженные от второго зеркала лучи, на продолжении которых получаются точки A₆ и A₇ , идут таким образом, что при своем отражении дают изображения, совпадающие с ранее полученными.
Всего в зеркалах, установленных под углом 45⁰ друг к другу, получается семь изображений.
Точка A₀ и все ее изображения расположены по кругу радиусом OA₆ с центром в точке пересечения зеркал O. В этом легко убедиться, доказав равенства /OA₀ / = /OA₁ / = ... = /OA_n /.
На основании проведенных построений, обобщая полученный результат на случай, когда зеркала поставлены друг к другу под углом a (a есть целый делитель 360⁰ ), формулу для числа изображений предмета, помещенного между зеркалами, можно записать так: